Jednoduchý harmonický pohyb vynalezl francouzský matematik baron Jean Baptiste Joseph Fourier v roce 1822. Edwin Armstrong (18. 12. 1890 - 1. února 1954) pozoroval ve svých experimentech oscilace v roce 1992 a Alexander Meissner (14. září 1883 až 3. ledna 1958) vynalezl oscilátory v březnu 1993. Termín harmonický je latinské slovo. Tento článek pojednává o přehledu harmonického oscilátoru, který zahrnuje jeho definici, typ a jeho aplikace.
Co je harmonický oscilátor?
Harmonický oscilátor je definován jako pohyb, při kterém je síla přímo úměrná částice z rovnovážného bodu a produkuje výstup v sinusovém průběhu. Síla, která působí harmonicky pohyb lze matematicky vyjádřit jako
F = -Kx
Kde,
F = Obnovovací síla
K = pružinová konstanta
X = vzdálenost od rovnováhy
blokový diagram harmonického oscilátoru
V harmonickém pohybu existuje bod, ve kterém systém kmitá, a síla, která hmotu přivádí znovu a znovu ve stejném bodě, odkud začíná, se síla nazývá obnovovací síla a bod se nazývá rovnovážný bod nebo střední poloha. Tento oscilátor je také známý jako lineární harmonický oscilátor . Energie proudí z aktivní komponenty pasivním komponentám v oscilátoru.
Blokové schéma
The blokové schéma harmonického oscilátoru skládá se z zesilovač a síť zpětné vazby. Zesilovač se používá k zesílení signálů a že zesílené signály procházejí zpětnovazební sítí a generují výstup. Kde Vi je vstupní napětí, Vo je výstupní napětí a Vf je zpětnovazební napětí.
Příklad
Mše na jaře: Pružina poskytuje obnovovací sílu, která zrychluje hmotu, a obnovovací síla je vyjádřena jako
F = ma
Kde „m“ je hmotnost a a je zrychlení.
hromadně na jaře
Pružina se skládá z hmoty (m) a síly (F). Když síla táhne hmotu v bodě x = 0 a závisí pouze na x - poloha hmoty a pružinová konstanta je reprezentována písmenem k.
Druhy harmonického oscilátoru
Mezi typy tohoto oscilátoru patří hlavně následující.
Nucený harmonický oscilátor
Když aplikujeme vnější sílu na pohyb systému, pak se říká, že pohyb je nuceným harmonickým oscilátorem.
Tlumený harmonický oscilátor
Tento oscilátor je definován jako, když aplikujeme vnější sílu na systém, pak se pohyb oscilátoru sníží a jeho pohyb je považován za tlumený harmonický pohyb. Existují tři typy tlumených harmonických oscilátorů
tlumicí křivky
Over Damped
Když se systém pohybuje pomalu směrem k rovnovážnému bodu, říká se o overdamped harmonický oscilátor.
Under Damped
Když se systém rychle pohybuje směrem k rovnovážnému bodu, říká se o overdamped harmonický oscilátor.
Kritický tlumený
Když se systém pohybuje co nejrychleji, aniž by osciloval kolem rovnovážného bodu, říká se, že jde o overdampovaný harmonický oscilátor.
Kvantové
Vynalezli jej Max Born, Werner Heisenberg a Wolfgang Pauli na „University of Gottingen“. Slovo kvantové je latinské slovo a význam kvantového je malé množství energie.
Energie nulového bodu
Energie nulového bodu je také známá jako energie základního stavu. Definuje se, když je energie základního stavu vždy větší než nula, a tento koncept objevil Max Planck v Německu a vzorec vyvinutý v roce 1990.
Průměrná energie tlumené rovnice harmonického oscilátoru
Existují dva typy energií: kinetická energie a potenciální energie. Součet kinetické energie a potenciální energie se rovná celkové energii.
E = K + U ………………. Eq (1)
Kde E = celková energie
K = kinetická energie
U = Potenciální energie
Kde k = k = 1/2 mvdva………… eq (2)
U = 1/2 kxdva………… eq (3)
oscilační cyklus - pro - průměrné hodnoty
Průměrné hodnoty kinetické a potenciální energie na oscilační cyklus se rovnají
Kde protidva= vdva(NAdva-Xdva) ……. eq (4)
Náhradník eq (4) v eq (2) a eq (3) získá
k = 1/2 m [hmotdva(NAdva-Xdva)]
= 1/2 m [Aw cos (hmot. + Ř0)]dva……. eq (5)
U = 1/2 kxdva
= 1/2 k [hřích (hmot. + Ř.)0)]dva……. eq (6)
Náhradník eq (5) a eq (6) v eq (1) získá celkovou energetickou hodnotu
E = 1/2 m [hmotdva(NAdva-Xdva)] + 1/2 kxdva
= 1/2 m tdva-1/2 m tdvaNAdva+ 1/2 kxdva
= 1/2 m tdvaNAdva+1/2 xdva(K-mwdva) ……. eq (7)
Kde mwdva= K , nahraďte tuto hodnotu v eq (7)
E = 1/2 K Adva- 1/2 Kxdva+ 1/2 xdva= 1/2 K Adva
Celková energie (E) = 1/2 K Adva
Průměrné energie za jedno časové období jsou vyjádřeny jako
Kprům= Uprům= 1/2 (1/2 K Adva)
Funkce vlny harmonického oscilátoru
Hamiltonovský operátor je vyjádřen jako součet kinetické energie a potenciální energie a je vyjádřen jako
ђ (Q) = T + V ……………… .eq (1)
Kde ђ = Hamitonianův operátor
T = kinetická energie
V = Potenciální energie
Abychom vytvořili vlnovou funkci, musíme znát Schrodingerovu rovnici a rovnice je vyjádřena jako
-đdva/ 2μ * ddvaѱυ(Q) / dQdva+ 1 / 2KQdvaѱυ(Q) = Eυѱυ(Q) …………. eq (2)
Kde Q = délka normální souřadnice
Μ = Efektivní hmotnost
K = konstanta síly
Okrajové podmínky Schrodingerovy rovnice jsou:
Ѱ (-∞) = ø
Ѱ (+ ∞) = 0
Můžeme také napsat eq (2) jako
ddvaѱυ(Q) / dQdva+ 2μ / đdva(Eυ-K / 2 * Qdva) ѱυ(Q) = 0 ………… ekv. (3)
Parametry použité k řešení rovnice jsou
β = ђ / √μk ……… .. ekv (4)
ddva/ dQdva= 1 / βdvaddva/ dxdva………… .. eq (5)
Nahraďte eq (4) a eq (5) v eq (3), potom se diferenciální rovnice pro tento oscilátor stane
ddvaѱυ(Q) / dxdva+ (2 μbdvaEυ/ đdva- Xdva) ѱυ(x) = 0 ……… .. ekv (6)
Obecný výraz pro výkonové řady je
ΣC¬nx2 …………. eq (7)
Exponenciální funkce je vyjádřena jako
exp (-xdva/ 2) ………… ekv (8)
eq (7) se vynásobí eq (8)
ѱυ (x) = ΣC¬nx2exp (-x2 / 2) …………… ..eq (9)
Hermitovy polynomy se získají pomocí níže uvedené rovnice
ђυ(x) = (-1)υ* exp (xdva) d / dxυ* exp (-xdva) …………… .. ekv (10)
Normalizační konstanta je vyjádřena jako
Nυ= (1/2υυ! √Π)1/2…………… .eq (11)
The jednoduché řešení harmonického oscilátoru je vyjádřena jako
Ѱυ(x) = NυHυ(a) e-x2 / 2……………… eq (12)
Kde Nυje normalizační konstanta
H υ je poustevník
je -x2 / dvaje Gaussian
Rovnice (12) je vlnová funkce harmonického oscilátoru.
Tato tabulka ukazuje první člen Hermitovy polynomy pro stavy s nejnižší energií
| υ | 0 | 1 | dva | 3 |
Hυ(Y) | 1 | 2r | 4rdva-dva | 8y3-12 let |
Vlnové funkce jednoduchý graf harmonického oscilátoru pro čtyři nejnižší energetické stavy jsou zobrazeny na níže uvedených obrázcích.
vlnové funkce harmonického oscilátoru
Hustoty pravděpodobnosti tohoto oscilátoru pro čtyři stavy s nejnižší energií jsou uvedeny na následujících obrázcích.
hustoty pravděpodobnosti vln
Aplikace
Simplementovat harmonický oscilátoraplikace zahrnují zejména následující
- Audio a video systémy
- Rádio a další komunikační zařízení
- Střídače , Alarmy
- Bzučáky
- Dekorativní světla
Výhody
The výhody harmonického oscilátoru jsou
- Levný
- Vysokofrekvenční generace
- Vysoká účinnost
- Levný
- Přenosný
- Hospodárný
Příklady
Příklad tohoto oscilátoru zahrnuje následující.
- Hudební nástroje
- Jednoduché kyvadlo
- Systém hromadné pružiny
- Houpačka
- Pohyb rukou hodin
- Pohyb kol automobilu, nákladního automobilu, autobusů atd
Je to jeden typ pohybu, který můžeme pozorovat na našich každodenních základnách. Harmonický oscilátor jsou odvozeny vlnové funkce pomocí Schrodingera a rovnice harmonického oscilátoru. Zde je otázka, jaký typ pohybu prováděného bungee jumpingem?
